从去年十二月开始没有给田田做新的“小升初”的数学试卷,只是以前做错的或不会做的题给她重新做。偶尔看到好玩的题,也会给她试一下。
有人贴了英国“Eton College”(伊顿公学)13+的一个数学题目,大概意思如下:
Joshua站在离一面墙2米远的地方。他朝着墙走到一半距离时停下,然后又往前走到(剩下距离)一半的时候停下,…,他走过的距离可以表示成 S=1+1/2+1/4+1/8+… 如果这人可以无限重复上述(每次走剩下距离一半)的动作,求S的值。
这个题目抽象起来涉及“等比数列求和”和“极限”的概念:
等式两边乘1/2,相减,1/2的无穷次等于0,这一项可以忽略。于是1/2*S=1, 得S=2。
“无穷递降等比数列求和”在中国也要等到高中才会学到。那么小学生会解这样的题目吗?我再仔细看了一下,这个题目也可以很简单,不管Joshua怎么走走停停,他不就是从2米远的地方走到墙嘛,所以S=2。于是我想知道田田会怎么解这种问题,下面是她的解题思路: 她将S的值写成一个序列,说S会越来越接近2,但又比2小。田田问答案是不是2?我跟她说越来越接近,无穷下去,就是2。她接受了2这个答案,至于 “无穷”这个概念我估计要等到以后再解释。
很多数学题看似复杂,其实抓住关键就简单了。比如:
田田和洋洋相距6公里,两人面对面走向对方,田田的速度是每小时2公里,洋洋的速度是每小时4公里。田田有一条小狗,跟田田同时出发,但小狗跑得快(每小时8公里),每当他碰到洋洋时就往回跑,碰到田田时又往洋洋跑, … 等田田和洋洋碰面时小狗一共跑了多少路?
7岁的洋洋和9岁的田田都能将这题解出来。关键就是小狗无论怎么跑,不就跑了1小时嘛。
今天还给田田和洋洋试了一个典型的中国奥数题:
一个农场养了一批鸡和兔子,共有20只头和50只脚,问分别有多少只鸡和兔子?
- 我记得以前自己做奥数时大致是这样做的:让那些兔子提起两只脚,地上就只站了40只脚,提起的10(=50-40)只脚都是兔子的,那就是有5只兔子。
- 有同学说他以前一个同事是这么给小朋友解释的:命令所以鸡和兔子都举起一半手,这样鸡就是一只头一只脚,兔子就是一只头两只脚,50的一半是25,多出来的5(=25-20)就是兔子数。
- 还有(中国的)初一学生这样解:设全都是鸡,那么只有40只脚, 50-40=10只。 兔子比鸡多2只脚,10÷2=5 就是兔子数。
那么田田和洋洋又是怎么解这道题的呢?洋洋用“try and error”,就是猜一个数,算有几只脚,不对再猜另一个数。这样用了两三分钟时间。田田也是猜,不过比较有规律地猜:
先对半,10只鸡,10只兔,那会有60只脚。应该减少兔子数。如果11只鸡,9只兔,共58只脚。要减至50只脚,得减少5只兔子。所以15只鸡,5只兔子。
我觉得田田这个想法很适合编程思路,从中间开始找,再调整数值。田田觉得这方法很酷。
由田田和洋洋解以上三道数学题看来,英国小学生虽然没学过方程、数列或极限,也没奥数训练,她们碰到这类要想一想的题目,也能运用自己学过的知识解决问题。她们能用最自然的方法,还擅于总结规律(pattern)。
附:
英国小学生也有奥数(Primary Mathematics Challenge),就是参加的人很少。
买过美国的奥数书,请看“推荐数学书 “Primary Grade Challenge Math” 2014年6月2日,星期一”
圣诞放假时,田田和洋洋学校老师也会给她们一些“Mathematical challenges”题目,从这本书里来:
Mathematical challenges for able pupils (in Key Stages 1 and 2)
后记: 我写完这篇博文后,我公公给田田出了一道题:
有20分钱,要买20个螺丝钉
大螺丝: 1.95分每个
中螺丝:0.90分每个
小螺丝: 0.65分每个能分别买几个大螺丝,中螺丝和小螺丝?
田田试了一段时间还没找到答案,她找到“19个或21个螺丝花了20分钱”(缺一个或多一个螺丝)!我就用编程了,不然手工(枚举)算要花很多时间(我公公自己花了三天才解出答案。他是木匠,用木块来比试才做出来)。
订阅了,第一时间读了,然后去考儿子,其实可以买中国的奥数书过来,挺系统的。
你儿子多大?
英国小学生也有奥数(Primary Mathematics Challenge),就是参加的人很少。买过美国的奥数书
圣诞放假时,田田和洋洋学校老师也会给她们一些“Mathematical challenges”题目,从这本书里来:
买中国奥数书的问题是田田和洋洋不会读中文,得我翻译给她们。而且中国的奥数题目/解法太稀奇古怪了:-)
四年级,在你家两娃中间。儿子他们学校每周有个老师给他自己上难数学课,可是不系统无目标。
你儿子学校给他上难的数学课是因为他数学比别的小孩好吗?我有个朋友的儿子数学很好,他的老师每次上课时单独给他高年级的题目做。
是,所以找个闲暇老师来给他单独上课,每周一次,不闲暇就不给上了。
我觉得数学好重要啊,可惜枯燥,儿子自己不爱好
不爱好还比别人学得好?那要爱好了更不得了了。
英语可能更重要,也更不容易提高(尤其是在英国的中国家庭)。
他爱好英文,莫名奇妙。数学被抓着学的。我咋觉得我们中国人得靠着数学这些技术吃饭,作家啊律师这种文字工作不适合移民阶层。
我家田田偏文的,我会支持她走文科(艺术类)的路,如果她想的话。做自己喜欢的才是重要的。
如果单为工作,数学也不用学得特别好,可以选在公司,不做科研。
我买了中国奥数,我看,然后按照进度给他用用。觉得中国的系统,不留死角。
我没想系统训练她们,就偶尔给个好玩的题目,激发一下她们的数学兴趣。
关于奥数训练,中国的奥数班老师讲得太多。我一个朋友(她得过奥数世界冠军)的奥数老师的女儿在美国开奥数班,她从来只是给学生出题,让学生自己做,不给讲解的。
我买的那本美国奥数书适合自学。
居然还有这么多的办法。有意思。
我觉得方法主要分为两类,智能的方法就是解方程,X Y的,解出来。非智能的就是列举法,一个一个试,这个真用的时候,就是通过计算机快速试出来(好的算法能更快速,比如这里用二分法)——计算机就是高速运算的傻瓜。
解方程是比较抽象的方法,枚举的方法比较自然/原始。的确,枚举的方法可能性多了以后就要用电脑。
我写完这篇博文后,我公公给田田出了一道题,我就用编程了,不然手工(枚举)算要花很多时间(我公公自己花了三天才解出答案。他是木匠,用木块来比试才做出来)。
题目如下:
有20分钱,要买20个螺丝
大螺丝: 1.95分每个
中螺丝:0.90分每个
小螺丝: 0.65分每个
能分别买几个大螺丝,中螺丝和小螺丝?
田田试了一段时间还没找到答案,她找到“19个或21个螺丝花了20分钱”(缺一个或多一个螺丝)!